Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn$f\left(x\right)+x{f}^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3+4x+2,\forall x\in ℝ$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right)$ và $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ bằng

Chọn C

Ta có: $f\left(x\right)+x.f^{\text{'}}\left(x\right)=4x^3+4x+2$$\iff (x{)}^{\text{'}}\cdot f(x)+x.f^{\text{'}}(x)=4x^3+4x+2$

$\iff [x.f(x){]}^{\text{'}}=4x^3+4x+2$$\iff x.f\left(x\right)=x^4+2x^2+2x+C$$\iff f\left(x\right)=\frac{x^4+2x^2+2x+C}{x}$

Vì do $f\left(x\right)$ liên tục trên R nên C=0. Do đó $f\left(x\right)=x^3+2x+2$$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+2$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $y=f\left(x\right)$ và $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$, ta có:

$x^3+2x+2=3x^2+2\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}\right.$. Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right)$và $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$là: $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)-f^{\text{'}}\left(x\right)\right|\text{d}x=\frac{1}{2}$