Chứng tỏ:

A = 5 + 5² + 5³ + … + 5⁸ là bội của 30;

B = 3 + 3³ + 3⁵ + 3⁷ + … + 3²⁹ là bội của 273.

A = 5 + 5² + 5³ + … + 5⁸

\( = \left( {5 + {5^2}} \right) + \left( {{5^3} + {5^4}} \right) + ... + \left( {{5^9} + {5^{10}}} \right)\)

\( = \left( {5 + {5^2}} \right) + {5^2}\,.\,\left( {5 + {5^2}} \right) + ... + {5^8}\,.\,\left( {5 + {5^2}} \right)\)

\( = \left( {5 + {5^2}} \right)\,.\,\left( {1 + {5^2} + ... + {5^8}} \right)\)

\( = 30\,.\,\left( {1 + {5^2} + ... + {5^8}} \right)\; \vdots \;30\)

Vậy A là bội của 30.

B = 3 + 3³ + 3⁵ + 3⁷ + … + 3²⁹

\( = \left( {3 + {3^3} + {3^5}} \right) + \left( {{3^7} + {3^9} + {3^{11}}} \right) + ... + \left( {{3^{25}} + {3^{27}} + {3^{29}}} \right)\)

\( = \left( {3 + {3^3} + {3^5}} \right) + {3^6}\,.\,\left( {3 + {3^3} + {3^5}} \right) + ... + {3^{24}}\,.\,\left( {3 + {3^3} + {3^5}} \right)\)

\( = \left( {3 + {3^3} + {3^5}} \right)\,.\,\left( {1 + {3^6} + ... + {3^{24}}} \right)\)

\( = 273\,.\,\left( {1 + {3^6} + ... + {3^{24}}} \right)\; \vdots \;273\)

Vậy B là bội của 273.