Chứng minh rằng: (x^m + xⁿ + 1) chia hết cho x² + x + 1 khi và chỉ khi (mn – 2) chia hết cho 3.

Đặt m = 3k + r với 0 ≤ r ≤ 2

n = 3t + s với 0 ≤ s ≤ 2

Ta có: x^m + xⁿ + 1

= x^3k+r + x^3t+s + 1

= x^3kx^r – x^r + x^3tx^s – x^s + x^r + x^s + 1

= x^r (x^3k – 1) + x^s (x^3t – 1) + x^r + x^s + 1

Ta thấy: (x^3k – 1) ⋮ (x² + x + 1) và (x^3t – 1) ⋮ (x² + x + 1)

Vậy để (x^m + xⁿ + 1) ⋮ x² + x + 1 thì (x^r + x^s + 1) ⋮ (x² + x + 1) với 0 ≤ r, s ≤ 2

Hay khi: \[\left[ \begin{array}{l}r = 2;{\rm{ }}s = 1{\rm{ }}\\r = 1;{\rm{ }}s = 2\end{array} \right.\]

⇔\[\left[ \begin{array}{l}m{\rm{ }} = {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2;{\rm{ }}n{\rm{ }} = {\rm{ }}3t{\rm{ }} + 1\\m{\rm{ }} = {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1;{\rm{ }}n{\rm{ }} = {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}2\end{array} \right.\]

⇔\[\left[ \begin{array}{l}mn - 2 = \left( {3k + 2} \right)\left( {3t + 1} \right) - 2 = 9kt + 3k + 6t = 3\left( {3kt + k + 2t} \right)\\mn - 2 = \left( {3k + 1} \right)\left( {3t + 2} \right) - 2 = 9kt + 6k + 3t = 3\left( {3kt + 2k + t} \right)\end{array} \right.\]

Suy ra: mn – 2 ⋮ 3.