Chứng minh rằng x^8n + x^4n + 1 chia hết cho x^2n + x^n + 1, với mọi số tự nhiên n
Đề bài: Chứng minh rằng x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1, với mọi số tự nhiên n.
Hướng dẫn giải:
Ta có: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 – x4n = (x4n + 1)2 – (x2n)2
= (x4n + 1 – x2n)(x4n + 1 + x2n)
= (x4n + 1 – x2n)(x4n + 2x2n + 1 – x2n)
= (x4n + 1 – x2n)[(x2n + 1)2 – (xn)2]
= (x4n + 1 – x2n)(x2n – xn + 1)(x2n + xn + 1)
Vậy x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1, với mọi số tự nhiên n.