Chứng minh rằng: x^3 + y^3 ≥ x^2 y + xy^2

Câu 10: Chứng minh rằng: x³ + y³ ≥ x²y + xy²

Trả lời

Với x ≥ 0; y ≥ 0 thì x + y ≥ 0

Ta có: x³ + y³ ≥ x²y + xy²

⇔ (x³ + y³) – (x²y + xy²) ≥ 0

⇔ (x + y)(x² – xy + y²) – xy(x + y) ≥ 0

⇔ (x + y)(x² – xy + y² – xy) ≥ 0

⇔ (x + y)(x² – 2xy + y²) ≥ 0

⇔ (x + y)(x – y)² ≥ 0 (Luôn đúng vì x + y ≥ 0 và (x – y)² ≥ 0)

Dấu “ = “ xảy ra khi (x – y)² = 0 ⇔ x = y