Chứng minh rằng: x^2 + y^2 +z^2 ≥ xy + yz + xz với mọi x, y, z

Câu 42: Chứng minh rằng: x2 + y2 +z2 ≥ xy + yz + xz với mọi x, y, z.

Trả lời

x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz (1)

⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 ≥ 2xy + 2yz + 2xz

⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2xz  ≥ 0

⇔ (x2 – 2xy + y2) + (y2 – 2yz + z2) + (z2 – 2xz + x2) ≥ 0

⇔ (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 ≥ 0 (đpcm)

Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z