Chứng minh rằng với x, y thuộc Z thì A = xy (x⁴ – y⁴) chia hết cho 5.

Ta có:

A = xy (x⁴ – y⁴)

= xy [(x⁴ –1)– (y⁴–1)

= xy [(x² + 1)(x² – 1) – (y² + 1)(y² – 1)]

= xy [(x² – 4 + 5) (x – 1) (x + 1) – (y² – 4 + 5)(y – 1)(y + 1)]

= xy{[(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) + 5(x – 1)(x + 1)] – [(y – 1)(y + 1)(y – 2)(y + 2) + 5(y – 1)(y + 1)]}

= (x – 2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2)y + 5xy(x – 1)(x + 1) – xy(y – 1)(y – 2)(y + 2)(y + 1) – 5xy(y – 1)(y + 1)

Ta thấy:

(x –2)(x – 1)x(x + 1)(x + 2) chia hết cho 5 (vì là tích của 5 số nguyên liên tiếp);

5x(x – 1)(x + 1) chia hết cho 5;

y(y – 1)(y – 2)(y + 2)(y + 1) chia hết cho 5 (vì đây là tích của 5 số nguyên liên tiếp);

5y(y – 1)(y + 1) chia hết cho 5 

Vậy A chia hết cho 5.