Chứng minh rằng với mọi tập hợp A, B, C: A giao (B hợp C

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi tập hợp A, B, C: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Xét x ∈ A ∩ (B ∪ C)

⇒ x ∈ A và x ∈ (B ∪ C)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x\in A\\ \left[\begin{array}{c}x\in B\\ x\in C\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}x\in A\\ x\in B\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}x\in A\\ x\in C\end{array}\right.\end{array}\right. \\ \Rightarrow x\in (A\cap B)\cup \left(A\cap C\right)\left(*\right) \end{gathered}$$

Xét x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

⇒ x ∈ A ∩ B hoặc x ∈ A ∩ C

⇒ x ∈ A và x ∈ B hoặc x ∈ C

Tức là: x ∈ A ∩ (B ∪ C) (**)

Từ (*); (**) suy ra A ∩ (B ∪ C) =(A ∩ B) ∪ (A ∩ C).