Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì: A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^4 là số

Câu 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì:

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ là số chính phương.

Trả lời

Ta có: A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴

= [(x + y)(x + 4y)][(x + 2y)(x + 3y)] + y⁴

= (x² + 5xy + 4y²)(x² + 5xy + 6y²) + y⁴

Gọi x² + 5xy + 4y² = a

A = a(a + 2y²) + y⁴

= a² + 2ay² + y⁴

= (a + y²)²

= (x² +  5xy + 4y² + y²)²

= (x² + 5xy + 5y²)²

Suy ra A là một số chính phương.