Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n^7 – n chia hết cho 7

Câu 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n⁷ – n chia hết cho 7.

Trả lời

Đặt An = n7 – n.

Khi n = 1 thì A1 = 0 và chia hết cho 7.

Giả sử đã có Ak = (k7 – k) ⋮ 7 (giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh Ak + 1 ⋮ 7, tức là (k + 1)7 – (k + 1) ⋮ 7.

Áp dụng công thức Nhị thức Niu – tơn ta có:

Ak + 1 = (k + 1)7 – (k + 1)

= k7 + 7k6 + 21k5 + 35k4 + 35k3 + 21k2 + 7k + 1 – k – 1

= k7 – k + 7(k6 + 3k5 + 5k4 + 5k3 +3k2 + k).

Theo giả thiết quy nạp thì Ak = k7 – k chia hết cho 7, do đó Ak + 1 ⋮ 7.

Vậy n7 – n chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.