Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ*, ta có 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ*, ta có 2n³ – 3n² + n chia hết cho 6.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đặt A_n = 2n³ – 3n² + n.

Với n = 1, ta có A₁ = 2.1³ – 3.1² + 1 = 0 ⋮ 6.

Giả sử với n = k ≥ 1 và n ∈ ℕ*, ta có A_k = 2k³ – 3k² + k ⋮ 6 (1)

Ta cần chứng minh với n = k + 1, ta có A_{k + 1} ⋮ 6.

Thật vậy, A_{k + 1} = 2(k + 1)³ – 3(k + 1)² + k + 1

= 2(k³ + 3k² + 3k + 1) – 3(k² + 2k + 1) + k + 1

= 2k³ – 3k² + k + 6k²

= A_k + 6k².

Ta có 6 ⋮ 6 (hiển nhiên).

Suy ra 6k² ⋮ 6.

Mà A_k  ⋮ 6 (theo (1)).

Do đó A_k + 6k² ⋮ 6.

Vì vậy A_{k + 1} ⋮ 6.

Vậy ta có điều phải chứng minh.