Chứng minh rằng với mọi giá trị của m:

a) Phương trình: mx² – (3m + 2)x + 1 = 0 luôn có nghiệm.

b) Phương trình: \(({m^2} + 5){x^2} - \left( {\sqrt 3 m - 2} \right)x + 1 = 0\) luôn vô nghiệm.

Lời giải

a) Ta có D = (3m + 2)² – 4m = 9m² + 12m + 4 – 4m = 9m² + 8m + 4

Xét f(m) = 9m² + 8m + 4 có

a = 9 > 0

D’ = 4² – 9 . 4 = 16 – 36 = – 20 < 0

Suy ra f(m) > 0 với mọi m

Do đó D > 0 với mọi m

Vậy phương trình mx² – (3m + 2)x + 1 = 0 luôn có nghiệm.

b) Ta có

\(\Delta = {\left( {\sqrt 3 m - 2} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + 5} \right).1 = 3{m^2} - 4\sqrt 3 m + 4 - 4{m^2} - 20 = - {m^2} - 4\sqrt 3 m + 16\)

\( = - \left( {{m^2} + 4\sqrt 3 m + 12} \right) - 4 = - {\left( {m - 2\sqrt 3 } \right)^2} - 4\)

Vì \({\left( {m - 2\sqrt 3 } \right)^2} \ge 0\) với mọi m

Nên \( - {\left( {m - 2\sqrt 3 } \right)^2} - 4 < 0\) với mọi m

Suy ra D < 0 với mọi m

Vậy phương trình \(({m^2} + 5){x^2} - \left( {\sqrt 3 m - 2} \right)x + 1 = 0\)luôn vô nghiệm.