Chứng minh rằng: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(5a + 2b, 7a + 3b

Câu 45: Chứng minh rằng: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(5a + 2b, 7a + 3b).

Trả lời

Gọi d là ước chung lớn nhất của 5a + 2b và 7a + 3b nên suy ra:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}5a+2b⋮d\\ 7a+3b⋮d\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}5\left(7a+3b\right)-7\left(5a+2b\right)⋮d\\ 3\left(5a+2b\right)-2\left(7a+3b\right)⋮d\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}35a+15b-35a-14b⋮d\\ 15a+5b-14a-6b⋮d\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b⋮d\\ a⋮d\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b hay ƯCLN(a, b) = ƯCLN(5a + 2b, 7a + 3b).