Gọi d là ước chung lớn nhất của 5a + 2b và 7a + 3b nên suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{l}5a + 2b\; \vdots \;d\\7a + 3b\; \vdots \;d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\left( {7a + 3b} \right) - 7\left( {5a + 2b} \right)\; \vdots \;d\\3\left( {5a + 2b} \right) - 2\left( {7a + 3b} \right)\; \vdots \;d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}35a + 15b - 35a - 14b\; \vdots \;d\\15a + 5b - 14a - 6b\; \vdots \;d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b\; \vdots \;d\\a\; \vdots \;d\end{array} \right.\)

Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b hay ƯCLN(a, b) = ƯCLN(5a + 2b, 7a + 3b).