Chứng minh rằng trong 1 tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.
Lời giải:
Lấy D đối xứng với A qua M.
• Xét ∆ABM và ∆CDM có:
\({\widehat M_1} = {\widehat M_2}\) (đối đỉnh)
\(MB = MC = \frac{1}{2}BC\)
\(MA = MD = \frac{1}{2}AD\)
Do đó ∆ABM = ∆DCM (c.g.c)
Suy ra \({\widehat A_1} = {\widehat D_1}\); AB = CD (các góc và các cạnh tương ứng).
Mặt khác, ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)
\[ \Leftrightarrow {\widehat D_1} + {\widehat A_2} = 90^\circ \]
\( \Leftrightarrow 180^\circ - \left( {{{\widehat D}_1} + {{\widehat A}_2}} \right) = 180^\circ - 90^\circ \)
Do đó \(\widehat {ACD} = 90^\circ \)
• Xét ∆ABC và ∆ACD có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {ACD} = 90^\circ \)
AB = CD (cmt)
AC chung
Do đó ∆ABC = ∆CDA (c.g.c)
Suy ra BC = AD (hai cạnh tương ứng).
Mà \(MA = MD = \frac{1}{2}AD\) (theo cách dựng).
Từ đó suy ra: \[MA = \frac{1}{2}\;BC\].
Vậy là trong 1 tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh huyền.