Chứng minh rằng số có dạng n^6 – n^4 + 2n^3 + 2n^2

Đề bài: Chứng minh rằng số có dạng n⁶ – n⁴ + 2n³ + 2n² trong đó n ∈ ℕ và n > 1 không phải là số chính phương.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

n⁶ – n⁴ + 2n³ + 2n²

= n².(n⁴ – n² + 2n + 2)

= n².[n²(n – 1)(n + 1) + 2(n + 1)]

= n²[(n + 1)(n³ – n² + 2)]

= n²(n + 1)[(n³ + 1) – (n² – 1)]

= n².(n + 1)².(n² – 2n + 2)

Với n ∈ ℕ và n > 1 thì n² – 2n + 2 = (n – 1)² + 1 > (n – 1)²

Và n² – 2n + 2 = n² – 2(n – 1) < n²

Vậy (n – 1)² < n² – 2n + 2 < n² ⇒ n² – 2n + 2 không phải là số chính phương