Chứng minh rằng: R / r = (sinA + sinB + sinC) / 2sinAsinBsinC

Đề bài: Chứng minh rằng: $\frac{R}{r}=\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{2\sin A\sin B\sin C}$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$S=\frac{a+b+c}{2r}=R.r.\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)$

Mặt khác: $S=\frac{abc}{4R}=\frac{2R\sin A.2R\sin B.2R\sin C}{4R}=2R^2\sin A\sin B\sin C$ .

Nên $R.r.\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)=2R^2\sin A\sin B\sin C$ .

Hay $\frac{R}{r}=\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{2\sin A\sin B\sin C}$ .