Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.

Trả lời

Lời giải

Xét ΔABC, ta có: \(\widehat A = 90^\circ ,\widehat B = 30^\circ \)

Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)

Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = AC

Suy ra ΔACD cân tại C

Mà \(\widehat C = 60^\circ \), suy ra ΔACD đều

Do đó AC = AD = DC và \({\widehat A_1} = 60^\circ \)

Ta có \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Suy ra \({\widehat A_2} = 90 - {\widehat A_1} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)

Xét tam giác ABD có \({\widehat A_2} = \widehat B\left( { = 30^\circ } \right)\)

Suy ra ΔADB cân tại D nên AD = DB

Suy ra AC = CD = DB mà CD + DB = BC

Do đó \(AC = \frac{1}{2}BC\)

Vậy \(AC = \frac{1}{2}BC\).