Chứng minh rằng: nếu 1 tam giác có 2 đường trung tuyến vuông góc với nhau

Đề bài: Chứng minh rằng: nếu 1 tam giác có 2 đường trung tuyến vuông góc với nhau thì tổng các bình phương của 2 đường trung tuyến này bằng bình phương của đường trung tuyến thứ ba.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Giả sử   có hai đường trung tuyến BE và CF vuông góc với nhau, AD là đường trung tuyến thứ ba. Ta cần chứng minh $A{D}^2=B{E}^2+C{F}^2$

Trên tia đối của tia EF lấy điểm K sao cho EF = FK

Tứ giác AKCF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm E của mỗi đường nên AKCF là hình bình hành → AK // FC. Mà $FC\perp BE$ nên $BE\perp AK$ (*)

Ta có: F là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC nên EF là đường trung bình của$\text{Δ}ABC\to EF= \frac{1}{2}BC$ và EF // BC hay EK // BD (1)

Mà $BD=\frac{1}{2}BC$ (gt) nên EF = BD → EK = BD (do EF = EK theo cách chọn điểm phụ)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra EKDB là hình bình hành → EB // DK (**)

Từ (*) và (**) suy ra →  $DK\perp AK$ vuông tại K $\to A{K}^2+K{D}^2=A{D}^2$ (theo định lý Py-ta-go)

Mà AK = FC (do AKCF là hình bình hành) và KD = BE (do EKDB là hình bình hành) nên$A{D}^2=B{E}^2+C{F}^2$ (đpcm)