Chứng minh rằng n^7 – n chia hết cho 7, với mọi n là số nguyên

Câu 40: Chứng minh rằng n⁷ – n chia hết cho 7, với mọi n là số nguyên.

Trả lời

Ta có n7 – n = n(n6 – 1)

= n(n3 – 1)(n3 + 1)

= n(n – 1)(n2 + n + 1)(n + 1)(n2 – n + 1)

= n(n2 – 1)(n2 + n + 1)(n2 – n + 1)

Nếu n = 7k (k ∈ ℤ) thì n ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7

Nếu n = 7k + 1 (k ∈ ℤ) thì n2 – 1 = 49k2 + 14k ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7

Nếu n = 7k + 2 (k ∈ ℤ) thì n2 + n + 1 = 49k2 + 35k + 7 ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7

Nếu n = 7k + 3 (k ∈ ℤ) thì n2 – n + 1 = 49k2 + 35k + 7 ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7

Nếu n = 7k + 4 (k ∈ ℤ) thì n2 + n + 1 = 49k2 + 35k + 21 ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7

Nếu n = 7k + 5 (k ∈ ℤ) thì n2 – n + 1 = 49k2 + 70k + 21 ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7

Nếu n = 7k + 6 (k ∈ ℤ) thì n2 – 1 = 49k2 + 84k + 35 ⋮ 7 khi đó n7 – n ⋮ 7

Vậy n7 – n chia hết cho 7, với mọi n là số nguyên.