Chứng minh rằng n^4 + 2n^3 – n^2 – 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n

Câu 22: Chứng minh rằng n⁴ + 2n³ – n² – 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.

Trả lời

Ta có: n⁴ + 2n³ – n² – 2n

= (n⁴ + 2n³) – (n² + 2n)

= n³(n + 2) – n(n + 2)

= (n³ – n)(n + 2)

= n(n² – 1)(n + 2)

= (n – 1)n(n + 1)(n + 2)

Ta thấy (n – 1)n(n + 1)(n + 2) là tích bốn số nguyên liên tiếp nên sẽ chứa một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4, từ đó suy ra tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.

Đồng thời, trong bốn số nguyên liên tiếp luôn chứa tích của ba số nguyên liên tiếp, đồng nghĩa với việc tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.

Mà 24 = 3.8

Vì vậy tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.8 = 24.

Vậy n⁴ + 2n³ – n² – 2n chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.