Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Đề bài: Chứng minh rằng n³ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có: n³ – n = n(n² – 1) = n(n – 1)(n + 1).

Với n ∈ ℤ thì (n – 1), n, (n + 1) là ba số nguyên liên tiếp.

+) Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có ít nhất 1 số chẵn nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 2.

+) Trong 3 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3 nên n(n – 1)(n + 1) chia hết cho 3.

Do đó tích n(n – 1)(n + 1) chia hết cho cả 2 và 3.

Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho 6 hay n³ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.