Chứng minh rằng: n^2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi

Câu 29: Chứng minh rằng: n²(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Trả lời

Ta có: n²(n + 1) + 2n(n + 1)

= (n² + 2n)(n + 1)

= n(n + 2)(n + 1)

Vì n và n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2

Suy ra n(n + 1) ⋮ 2

Vì n; n + 1; n + 2 là ba số nguyên liên tiếp nên trong ba số đó có một số chia hết cho 3.

Suy ra n(n + 1)(n + 2) $⋮$ 3 mà ƯCLN(2, 3) = 1

Vậy n(n + 1)(n + 2) $⋮$ 2.3 hay n(n + 1)(n + 2) $⋮$ 6 $\forall n\in \mathbb{Z}$.