Chứng minh rằng ( n^2 + 3n + 1)^2- 1 24 với n là số tự nhiên.
Chứng minh rằng \({\left( {{n^2} + 3n + 1} \right)^2} - 1 \vdots 24\) với n là số tự nhiên.
Lời giải:
\({\left( {{n^2} + 3n + 1} \right)^2} - 1 = \left( {{n^2} + 3n + 1} \right) - {1^2} = \left( {{n^2} + 3n + 1 + 1} \right)\left( {{n^2} + 3n + 1 - 1} \right)\)
\( = \left( {{n^2} + 3n + 2} \right)\left( {{n^2} + 3n} \right) = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)n\left( {n + 3} \right)\)
\( = n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)\) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp
\( \Rightarrow n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) \vdots 24\).