Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm khi và chỉ khi

Đề bài: Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm khi và chỉ khi $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, G’ là trọng tâm tam giác MNP

Ta có:

 $$\begin{gathered} \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}M})+(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}N})+(\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG\text{'}}+\overrightarrow{G\text{'}P}) \\ (\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG})+(\overrightarrow{G\text{'}M}+\overrightarrow{G\text{'}P}+\overrightarrow{G\text{'}N})+3\overrightarrow{GG\text{'}}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+3\overrightarrow{GG\text{'}}=3\overrightarrow{GG\text{'}} \end{gathered}$$

hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm khi và chỉ khi G ≡ G’

$$\begin{gathered} \iff \overrightarrow{GG\text{'}}=\overrightarrow{0} \\ \iff \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0} \end{gathered}$$

Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm khi và chỉ khi $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$