Chứng minh rằng giới hạn lim x đến 0| x |/x không tồn tại.

Trả lời

Lời giải:

+) Với x > 0, ta có: |x| = x.

Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 1 = 1\).          (1)

+) Với x < 0, ta có: |x| = – x.

Khi đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1\).        (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right|}}{x}\] nên không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}\).