Chứng minh rằng biểu thức: a) x^2 + 2x + 3 luôn dương với mọi x; b) −x^2 + 4x − 5 luôn âm với mọi x

Câu 7: Chứng minh rằng biểu thức:

a) x² + 2x + 3 luôn dương với mọi x;

b) −x² + 4x − 5 luôn âm với mọi x.

Trả lời

a) Ta có: x2 + 2x + 3 = (x2 + 2x + 1) + 2

= (x + 1)2 + 2

Vì (x + 1)2 ≥ 0, ∀ x ∈ℝ

Suy ra (x + 1)2 + 2 ≥ 2, ∀ x ∈ℝ

Vậy x2 + 2x + 3 luôn dương với mọi x

b) Ta có: −x2 + 4x − 5 = −(x2 − 4x + 4) − 1

= −(x − 2)2 − 1

Vì (x − 2)2 ≥ 0, ∀ x ∈ℝ

Suy ra −(x − 2)2 ≤ 0, ∀ x ∈ℝ

⇒−(x − 2)2 − 1 ≤ −1, ∀ x ∈ℝ

Vậy −x2 + 4x − 5 luôn âm với mọi x.