Chứng minh rằng a^5 – a chia hết cho 30

Câu 33: Chứng minh rằng a⁵ – a chia hết cho 30.

Trả lời

a5 – a = a(a4 – 1) = a(a2 – 1)(a2 + 1) = a(a – 1)(a + 1)(a2 – 4 + 5)

= a(a – 1)(a + 1)(a2 – 4) + 5a(a – 1)(a + 1)

= a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a – 1)(a + 1)

Do a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 2; 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 5

⇒ a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) chia hết cho 30

Mặt khác, a(a – 1)(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 6

⇒ 5a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 30

⇒ a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a – 1)(a + 1) chia hết cho 30

Vậy a5 – a chia hết cho 30.