Chứng minh rằng a^3b – ab^3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b
Đề bài: Chứng minh rằng a3b – ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b.
Hướng dẫn giải:
Ta có: a3b – ab3
= a3b – ab – ab3 + ab
= ab(a2 – 1) – ab(b2 – 1)
= ab(a – 1)(a + 1) – ab(b – 1)(b + 1)
Mà 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6 nên ta có:
(a – 1).a.(a + 1) ⋮ 6 và (b – 1).b.(b + 1) ⋮ 6
Suy ra ab(a – 1)(a + 1) – ab(b – 1)(b + 1) ⋮ 6
Vậy a3b – ab3 chia hết cho 6 với mọi a, b.