Chứng minh rằng a^2 + ab + b^2 ≥ 0 với mọi số thực a, b

Đề bài:

a) Chứng minh rằng a² + ab + b² ≥ 0 với mọi số thực a, b.

b) Chứng minh với 2 số thực a, b tùy ý, ta có a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: a² + ab + b² $=a^2+\frac{2ab}{4}+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}$

$={\left(a+\frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}\ge 0$ $\forall a,b\in ℝ$.

Vậy suy ra a² + ab + b² ≥ 0 $\forall a,b\in ℝ$.

b) Ta có: a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³

$\iff$a³(a – b) – b³(a – b) ≥ 0

$\iff$(a³ – b³)(a – b) ≥ 0

$\iff$(a – b)²(a² + ab + b²) ≥ 0 $\forall a,b\in ℝ$.

Do đó: a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³ $\forall a,b\in ℝ$.