Chứng minh rằng A = x^4 + 2x^3 – x^2 – 2x chia hết cho 24 với mọi số nguyên x

Câu 33: Chứng minh rằng A =  x⁴ + 2x³ – x² – 2x chia hết cho 24 với mọi số nguyên x.

Trả lời

Ta có: A =  x4 + 2x3 – x2 – 2x

= (x4 – x3) + (3x3 – 3x2) + (2x2 – 2x)

= x3(x – 1) + 3x2(x – 1) + 2x(x – 1)

= (x – 1)(x3 + 3x2 + 2x)

= (x – 1)x(x2 + x + 2x + 2)

= (x – 1)x[x(x + 1) + 2(x + 1)]

= (x – 1)x(x + 1)(x + 2).

Ta thấy x ∈ ℤ thì A là tích của 4 số liên tiếp nên chắc chắc A ⋮ 2; A ⋮ 3; A ⋮ 4.

Từ đó suy ra A ⋮ (2.3.4) hay A ⋮ 24 (đpcm).