Chứng minh rằng A = n^4 – 14n^3 + 71n^2 – 154n + 120 chia hết cho 24

Câu 39: Chứng minh rằng A = n⁴ – 14n³ + 71n² – 154n + 120 chia hết cho 24.

Trả lời

Để chứng minh A chia hết cho 24 tức là chứng minh A chia hết cho 2, 3 và 8.

Ta có:

A = n⁴ – 14n³ + 71n² – 154n + 120

A = n⁴ – 2n³ –12n³ + 24n² + 47n² – 94n–60n + 120

A = n³(n – 2) –12n² (n – 2) + 47n(n – 2) – 60(n – 2)

A= (n – 2)(n³ – 12n² + 47n – 60)

A = (n – 2)(n³ – 3n² – 9n² +27n + 20n  – 60)

A = (n – 2)(n – 3)[(n² – 4n) – (5n – 20)]

A = (n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)

Ta có: n – 2 và  n – 3 là hai số tự nhiên liên tiếp nên (n – 2)(n – 3) chia hết cho 2, suy ra A chia hết cho 2 (1)

n – 2; n – 3; n – 4 là ba số tự nhiên liên tiếp nên (n – 2)(n – 3)(n – 4) chia hết cho 2, suy ra A chia hết cho 3 (2)

n – 2; n – 3; n – 4; n – 5 là bốn số tự nhiên liên tiếp nên (n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)chia hết cho 4, suy ra A chia hết cho 4 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A chia hết cho 24.