Chứng minh rằng: a) (a + b + c)^2 ≤ 3(a^2 + b^2 + c^2) b) (a + b)^2 ≤ 2(a%2 + b^2)

Câu 20: Chứng minh rằng:

a) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

b) (a + b)² ≤ 2(a² + b²)

Trả lời

a) Ta có: (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

⇔ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 3a2 + 3b2 + 3c2

⇔ -2a2 – 2b2 – 2c2 + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 0

⇔ -(a – b)2 – (b – c)2 –  (c – a)2 ≤ 0 (đúng với mọi a, b, c)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

b) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

⇔ a2 – 2ab + b2 ≤ 2a2 + 2b2

⇔ –a2 – 2ab – b2 ≤ 0

⇔ –(a + b)2 ≤ 0 (đúng với mọi a, b)

Dấu “=” xảy ra khi a = –b