Chứng minh rằng: 1 + 2 + 2^2 + … + 2^99 + 2^100 = 2^101 – 1

Câu 28: Chứng minh rằng: 1 + 2 + 2² + … + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ = 2¹⁰¹ – 1.

Trả lời

Đặt A = 1 + 2 + 22 + … + 299 + 2100.

Ta có: 2 A = 2 + 22 + … + 2100 + 2101.

Khi đó 2A – A = (2 + 22 + … + 2100 + 2101) – (1 + 2 + 22 + … + 299 + 2100)

= 2 + 22 + … + 2100 + 2101 – 1 – 2 – 22 – … – 299 – 2100

= (2 – 2) + (22 – 22) + (299– 299) +… + (2100 – 2100) + 2101 – 1

= 2101 – 1 (đpcm)