Chứng minh hằng đẳng thức: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a

Đề bài: Chứng minh hằng đẳng thức: (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a).

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Biến đổi vế trái:

(a + b + c)³ = [(a + b) + c]³

= (a + b)3 + 3(a + b)2c + 3(a +b)c2 + c3

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3(a² + 2ab + b²)c + 3ac² + 3bc² + c³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3a²c + 6abc + 3b²c + 3ac² + 3bc² + c³

= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 6abc + 3b2c + 3ac2 + 3bc2

= a³ + b³ + c³ + (3a²b + 3ab²) + (3a²c + 3abc) + (3abc + 3bc²) + (3ac² + 3bc²)

= a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3bc(a + c) + 3c²(a + b)

= a³ + b³ + c³ + (a + b)(3ab + 3ac + 3bc + 3c²)

= a³ + b³ + c³ + (a + b)[(3ab + 3ac) + (3bc + 3c²)]

= a³ + b³ + c³ + (a + b)[3a(b + c) + 3c(b + c)]

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(a + c) (đpcm)