Chứng minh DI /DA = BC/ (AB + BC + CA)

Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D BC, E AC, F AB) cắt nhau tại I. Chứng minh:

DIDA=BCAB+BC+CA;

Trả lời
Chứng minh DI /DA = BC/ (AB + BC + CA) (ảnh 1)

BI là phân giác của ^ABC trong ABC nên ta có IAID=ABBD.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

IAAB=IDBD=IA+IDAB+BD=ADAB+BD suy ra IDAD=BDAB+BD      (1)

CI là phân giác của ^ACB trong ABC nên ta có IAID=CACD.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

IACA=DICD=IA+IDCA+CD=DACA+CD suy ra DIAD=CDCA+CD     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BDAB+BD=CDCA+CD.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

BDAB+BD=CDCA+CD=BD+CDAB+BD+CA+CD=BCAB+BC+CA    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: DIDA=BCAB+BC+CA.