Chứng minh các biểu thức sau dương: a) x^2 - 8x + 20. b) 4x^2 - 12x + 11. c) x^2 - x + 1
Chứng minh các biểu thức sau dương:
a) x2 – 8x + 20.
b) 4x2 – 12x + 11.
c) x2 – x + 1.
d) x2 – 2x + y2 + 4y + 6.
a) x2 – 8x + 20 = (x2 – 8x + 16) + 4 = (x + 4)2 + 4
Vì (x + 4)2 ≥ 0 với mọi x
Nên (x + 4)2 + 4 > 0 với mọi x
Vậy biểu thức x2 – 8x + 20 dương.
b) 4x2 – 12x + 11 = (4x2 – 12x + 9) + 2 = (2x – 3)2 + 2
Vì (2x – 3)2 ≥ 0 với mọi x
Nên (2x – 3)2 + 2 > 0 với mọi x
Vậy biểu thức 4x2 – 12x + 11 dương.
c) \[{{\rm{x}}^2} - x + 1 = {x^2} - 2.x.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\]
Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi x
Nên \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi x
Vậy biểu thức x2 – x + 1 dương.
d) x2 – 2x + y2 + 4y + 6
= (x2 – 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) + 1
= (x – 1)2 + (y + 2)2 + 1
Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x
(y + 2)2 ≥ 0 với mọi y
Nên (x – 1)2 + (y + 2)2 + 1 > 0 với mọi x, y
Vậy biểu thức x2 – 2x + y2 + 4y + 6 dương.