Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca.
Hướng dẫn giải:
Giả sử a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Û 2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ca)
Û 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
Û (a2 − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2) ≥ 0
Û (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0
Mà (a − b)2 ≥ 0; (b − c)2 ≥ 0; (c − a)2 ≥ 0 nên suy ra
(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (đpcm).