Chứng minh bất đẳng thức: (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) lớn hơn hoặc bằng 9

Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức: $\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Áp dụng BĐT Cô–si cho vế trái ta có $\left\{\begin{array}{c}a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}} \\ \Rightarrow \left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}} \end{gathered}$$

$\Rightarrow \left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9$ (điều phải chứng minh).