Chứng minh a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

Đề bài: Chứng minh $a^3+b^3+c^3=3abc$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a^3+b^3\right)+c^3-3abc \\ ={\left(a+b\right)}^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=\left[{\left(a+b\right)}^3+c^3\right]-\left[3ab\left(a+b\right)-3abc\right] \\ =\left(a+b+c\right)\left[{\left(a+b\right)}^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right) \\ =\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right) \end{gathered}$$

Mà a + b + c = 0

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$ (đpcm).