Chứng minh a^3/b + b^3/c + c^3/a lớn hơn hoặc bằng ab + bc + ca
Chứng minh \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge ab + bc + ca\).
Lời giải
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\frac{{{a^3}}}{b} + ab \ge 2\sqrt {\frac{{{a^3}}}{b}.ab} = 2{a^2}\) (1)
\(\frac{{{b^3}}}{c} + bc \ge 2\sqrt {\frac{{{b^3}}}{c}.bc} = 2{b^2}\) (2)
\(\frac{{{c^3}}}{a} + ca \ge 2\sqrt {\frac{{{c^3}}}{a}.ca} = 2{c^2}\) (3)
Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) nên ta có:
\(\frac{{{a^3}}}{b} + ab + \frac{{{b^3}}}{c} + bc + \frac{{{c^3}}}{a} + ca \ge 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right)\)
Theo hệ quả của BĐT AM - GM thì:
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)
Do đó \(\frac{{{a^3}}}{b} + \frac{{{b^3}}}{c} + \frac{{{c^3}}}{a} \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right) = ab + bc + ca\)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c > 0