Chứng minh a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca) với mọi số thực a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) với mọi số thực a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Lời giải
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:
0 < a < b + c Þ a2 < a(b + c) = ab + ca;
0 < b < c + a Þ b2 < b(c + a) = bc + ab;
0 < c < a + b Þ c2 < c(a + cb) = ca + bc
Do đó suy ra a2 + b2 + c2 < (ab + ca) + (bc + ab) + (ca + bc)
Þ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).