Chứng minh a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) với mọi số thực a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Đề bài: Chứng minh a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca) với mọi số thực a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:

0 < a < b + c ⇒ a² < a(b + c) = ab + ca;

0 < b < c + a ⇒ b² < b(c + a) = bc + ab;

0 < c < a + b ⇒ c² < c(a + cb) = ca + bc

Do đó suy ra a² + b² + c² < (ab + ca) + (bc + ab) + (ca + bc)

Þ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).