Chứng minh A = n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 chia hết cho 9 với mọi n

Đề bài: Chứng minh  A = n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ chia hết cho 9 với mọi n ∈ ℕ*.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

A = n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³

= n³ + n³ + 3n² + 3n + 1 + n³ + 6n² + 12n + 8

= 3n³ + 9n² + 15n + 9

= 3n² (n + 1) + 6n ( n + 1) + 9 (n +1)

= 3 (n + 1)(n² + 2n + 3)

=3(n + 1)[n (n + 2) + 3]

= 3n (n + 1)(n + 2) + 9( n + 1)

Ta có: n; n + 1; n + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp

⇒ 3n(n + 1)(n + 2) ⋮ 9

Mặc khác: 9(n + 1) ⋮ 9

⇒ A = 3n (n + 1)(n + 2) + 9(n + 1) ⋮ 9.

Vậy A = n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ ⋮ 9.