Chứng minh A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hết cho 9 với mọi n ∈ ℕ*.
Chứng minh A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hết cho 9 với mọi n ∈ ℕ*.
A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3
= n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8
= 3n3 + 9n2 + 15n + 9
= 3n2 (n + 1) + 6n ( n + 1) + 9 (n +1)
= 3 (n + 1)(n2 + 2n + 3)
=3(n + 1)[n (n + 2) + 3]
= 3n (n + 1)(n + 2) + 9( n + 1)
Ta có: n; n + 1; n + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp
⇒ 3n(n + 1)(n + 2) ⋮ 9
Mặc khác: 9(n + 1) ⋮ 9
⇒ A = 3n (n + 1)(n + 2) + 9(n + 1) ⋮ 9.
Vậy A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ⋮ 9.