Chứng minh a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) £ abc

Câu 5: Chứng minh a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì

(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) £ abc.

Trả lời

Ta có: 

(b + c − a)(c + a − b) = c² − (a − b)² ≤ c²

(c + a − b)(a + b − c) = a² − (b − c)² ≤ a²

(a + b − c)(b + c − a) = b² − (c − a)² ≤ b²

Nhân vế với vế của các bđt trên với chú ý a + b − c > 0; b + c − a > 0; c + a − b > 0 ta có:

[(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b)]² ≤ (abc)²

(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) £ abc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.