Chứng minh 2n3 + 3n2 + n chia hết cho 6, với mọi số nguyên n

Đề bài: Chứng minh 2n³ + 3n² + n chia hết cho 6, với mọi số nguyên n.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có 2n³ + 3n² + n = n(2n² + 3n + 1)

= n(2n² + 2n + n + 1)

= n[2n(n + 1) + (n + 1)]

= n(n + 1)(2n + 1)

= n(n + 1)(2n – 2 + 3)

= 2(n – 1)n(n + 1) + 3n(n + 1).

Ta có n – 1; n và n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp.

Suy ra (n – 1)n(n + 1) chia hết cho 2 và 3.

Do đó (n – 1)n(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6

Vì vậy 2(n – 1)n(n + 1) chia hết cho 6   (1)

Lại có n và n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp. Tức là trong 2 số n và n + 1, ta có 1 số là số chẵn.

Suy ra n(n + 1) chia hết cho 2.

Do đó 3n(n + 1) chia hết cho 2.

Mà 3n(n + 1) cũng chia hết cho 3.

Vì vậy 3n(n + 1) chia hết cho 2.3 = 6   (2)

Từ (1), (2), ta suy ra 2n³ + 3n² + n chia hết cho 6.