Chứng minh: 1/ căn bậc hai của 1 + 1/ căn bậc hai của 2 + 1/ căn bậc hai của 3 + ... + 1/ căn bậc hai của 100 > 18

Trả lời

Lời giải

Ta có \(\frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {100} }}\)

\( = \frac{2}{{2\sqrt 1 }} + \frac{2}{{2\sqrt 2 }} + \frac{2}{{2\sqrt 3 }} + ... + \frac{2}{{2\sqrt {100} }}\)

\( > \frac{2}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{2}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{2}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{2}{{\sqrt {100} + \sqrt {101} }}\)

\[ = 2\left( {\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {100} + \sqrt {101} }}} \right)\]

\[ = 2\left( {\frac{{\sqrt 1 - \sqrt 2 }}{{1 - 2}} + \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{2 - 3}} + \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 4 }}{{3 - 4}} + ... + \frac{{\sqrt {100} - \sqrt {101} }}{{100 - 101}}} \right)\]

\[ = 2\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 4 - \sqrt 3 + ... + \sqrt {101} - \sqrt {100} } \right)\]

\[ = 2\left( {\sqrt {101} - \sqrt 1 } \right) > 2\left( {\sqrt {100} - \sqrt 1 } \right) = 2\left( {10 - 1} \right) = 18\].

Vậy \(\frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {100} }} > 18\).