Cho $x=\frac{m}{n};m,n\in {\mathbb{N}}^{*},(m,n)=1$ . Biết ba số ${\log }_{3}x,-1,{\log }_3\left(81x\right)$  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính $m+n$ .

Điều kiện:  $x>0$.

Vì ba số  ${\log }_{3}x,-1,{\log }_3\left(81x\right)$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên: $\frac{{\log }_{3}x+{\log }_3\left(81x\right)}{2}=-1\iff {\log }_{3}x+{\log }_3\left(81x\right)=-2\iff {\log }_3{\left(9x\right)}^2=-2$

 $\iff {\left(9x\right)}^2=3^{-2}=\frac{1}{9}\iff {\left(9x\right)}^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2\Rightarrow 9x=\frac{1}{3}$, do  $x>0\Rightarrow x=\frac{1}{27}.$

Vậy  $m=1,n=27\Rightarrow m+n=28$.

Chọn A