Cho x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 ≤ 3

Đề bài:  Cho x, y, z thỏa mãn x² + y² + z² ≤ 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+x\text{z}}$ .

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Ta có (x + y + z)² ≥ 0

⇔ x² + y² + z² – 2xy – 2xz – 2yz ≥ 0

⇔ x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz

Mà x² + y² + z² ≤ 3

Suy ra xy + yz + xz ≤ 3

Ta có P ≥ $\frac{{(1+1+1)}^2}{3+(xy+yz+xz)}$

⇔ P ≥ $\frac{9}{3+(xy+yz+xz)}$

Mà P ≥ $\frac{{(1+1+1)}^2}{3+(xy+yz+xz)}$

Suy ra P ≥ $\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}$

Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{3}{2}$  khi x = y = z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng $\frac{3}{2}$ khi x = y = z = 1.